Behandelt Aussagen, Quantoren, Mengenoperationen, kartesische Produkte und logische Schlussregeln als Sprache präziser Argumente.

Erklärt Relationen, Äquivalenzklassen, Ordnungen, Abbildungen, Umkehrfunktionen und Verkettungen anhand konkreter Beispiele.

Trainiert direkte und indirekte Beweise, Widerspruch, vollständige Induktion sowie das Arbeiten mit notwendigen und hinreichenden Bedingungen.

Ordnet natürliche, ganze, rationale, reelle und komplexe Zahlen ein und übt Betrag, Intervalle, Ungleichungen und algebraische Umformungen.

Zeigt, wie Gleichungssysteme, Koordinaten, Infinitesimalrechnung, strenge Grenzwertbegriffe, Matrizen und Funktionsräume die heutige Analysis und lineare Algebra geprägt haben.

Behandelt Supremum, Infimum, Vollständigkeitsaxiom, Archimedisches Prinzip und Intervallschachtelung als Fundament der reellen Analysis.

Verbindet Punkte, Richtungen, Geraden, Ebenen und Abstände mit Vektorrechnung in zwei und drei Dimensionen.

Löst lineare Gleichungssysteme mit elementaren Zeilenumformungen und deutet Lösungsmenge, Rang und freie Variablen geometrisch.

Behandelt Matrixoperationen, inverse Matrizen, Blockmatrizen und die Darstellung linearer Gleichungssysteme in kompakter Form.

Verallgemeinert geometrische Vektoren zu reellen und komplexen Vektorräumen und prüft Teilräume anhand der Vektorraumaxiome.

Entwickelt lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensysteme, Basen, Koordinaten und Dimension mit systematischen Rechenverfahren.

Untersucht lineare Abbildungen, Kern, Bild, Rang und Basiswechsel sowie ihre Darstellung durch Matrizen.

Erarbeitet Determinanten über geometrisches Volumen, Rechenregeln und Laplace-Entwicklung und nutzt sie für Invertierbarkeit und Orientierung.

Berechnet Eigenwerte und Eigenvektoren, prüft Diagonalisierbarkeit und deutet wiederholte lineare Prozesse und dynamische Systeme.

Führt Skalarprodukte, Winkel, Normen, Orthogonalität und das Gram-Schmidt-Verfahren in euklidischen und unitären Räumen zusammen.

Formuliert überbestimmte Systeme als Ausgleichsprobleme und löst sie mit Orthogonalprojektionen und QR-Zerlegung.

Beweist und nutzt die orthogonale beziehungsweise unitäre Diagonalisierung symmetrischer, hermitescher und normaler Matrizen.

Zerlegt Matrizen in singuläre Richtungen und wendet die Singulärwertzerlegung auf Rangapproximation, Kompression und schlecht gestellte Probleme an.

Behandelt Minimalpolynome, verallgemeinerte Eigenvektoren und die Jordan-Normalform für nicht diagonalisierbare Abbildungen.

Untersucht Bilinearformen, Sesquilinearformen, quadratische Formen, Definitheit und Hauptachsentransformationen.

Führt multilineare Abbildungen, Tensorprodukte und Koordinatentransformationen ein und grenzt Tensoren von bloßen mehrdimensionalen Datenfeldern ab.

Definiert Konvergenz, Beschränktheit, Teilfolgen und Cauchy-Folgen und nutzt zentrale Sätze wie Bolzano-Weierstraß.

Prüft unendliche Reihen mit Vergleichs-, Quotienten-, Wurzel- und Leibniz-Kriterien und behandelt absolute und bedingte Konvergenz.

Entwickelt Funktionsgrenzwerte und Stetigkeit mit Folgen- und Epsilon-Delta-Kriterien sowie Zwischenwert- und Extremwertsatz.

Leitet die Ableitung als lokale lineare Näherung her und übt Produkt-, Quotienten-, Ketten- und Umkehrregel.

Nutzt Mittelwertsätze, Monotonie, Krümmung, Taylorpolynome und Restglieder zur Funktionsanalyse und Fehlerabschätzung.

Konstruiert das Riemann-Integral über Ober- und Untersummen und verbindet Integration und Differentiation durch den Hauptsatz.

Behandelt unbeschränkte Integrationsbereiche, singuläre Integranden und Konvergenzkriterien für uneigentliche Integrale.

Vergleicht punktweise und gleichmäßige Konvergenz und klärt, wann Grenzwertbildung mit Stetigkeit, Ableitung oder Integral vertauscht werden darf.

Bestimmt Konvergenzradien, differenziert und integriert Potenzreihen gliedweise und verbindet analytische Funktionen mit Taylorreihen.

Verallgemeinert Abstand, Konvergenz, Offenheit, Abgeschlossenheit, Kompaktheit und Zusammenhang auf metrische Räume.

Behandelt Normen, äquivalente Normen, vollständige normierte Räume und den Banachschen Fixpunktsatz.

Definiert partielle und totale Ableitungen, Gradient, Jacobi-Matrix, Richtungsableitungen und Hesse-Matrix für Funktionen mehrerer Variablen.

Löst lokale Gleichungssysteme mit dem Satz über inverse Funktionen und beschreibt implizit definierte Kurven und Flächen.

Bestimmt freie und gebundene Extrema mit Hesse-Matrix, Lagrange-Multiplikatoren und Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen.

Überträgt Ableitungsregeln auf Vektoren und Matrizen und berechnet Gradienten häufig verwendeter Matrixausdrücke.

Berechnet Mehrfachintegrale und führt Koordinatenwechsel mit der Jacobi-Determinante in Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten durch.

Parametrisiert Kurven und Flächen und berechnet Länge, Fläche, Arbeit, Fluss sowie Linien- und Oberflächenintegrale.

Verbindet lokale Ableitungsgrößen mit globalen Integralen durch die Sätze von Green, Gauß und Stokes.

Formuliert Gradienten, Kurvenintegrale und Orientierung koordinatenfrei und führt zum allgemeinen Satz von Stokes.

Behandelt Existenz und Eindeutigkeit, Trennung der Variablen, lineare Systeme, Phasenporträts und Stabilität gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Konstruiert Sigma-Algebren und Maße und behandelt messbare Funktionen, Nullmengen und die Erweiterung elementarer Längen- und Flächenbegriffe.

Definiert das Lebesgue-Integral und nutzt monotone und dominierte Konvergenz sowie die Sätze von Tonelli und Fubini.

Untersucht die Räume L¹ bis L∞, Hölder- und Minkowski-Ungleichung sowie Konvergenz im Mittel.

Verbindet vollständige Skalarprodukträume mit orthogonalen Projektionen, Orthonormalbasen und der besten Approximation.

Behandelt beschränkte, adjungierte und kompakte Operatoren und überträgt spektrale Ideen von Matrizen auf unendlichdimensionale Räume.

Zerlegt periodische und nichtperiodische Funktionen in Frequenzen und behandelt Fourier-Reihen, Fourier-Transformation, Faltung und Parseval-Identität.

Führt komplexe Differenzierbarkeit, Cauchy-Riemann-Gleichungen, analytische Funktionen und komplexe Kurvenintegrale ein.

Nutzt Cauchys Integralsatz, Integralformel, Laurent-Reihen und Residuen zur Berechnung reeller und komplexer Integrale.

Erweitert den Funktionsbegriff auf Distributionen und macht Ableitungen von Sprüngen, Delta-Quellen und schwache Gleichungen präzise.

Definiert Sobolev-Räume, Spurwerte, Einbettungssätze und schwache Konvergenz als Arbeitsrahmen für Variationsprobleme und Differentialgleichungen.

Leitet Euler-Lagrange-Gleichungen aus Extremalproblemen für Funktionen her und behandelt direkte Existenzmethoden.

Ordnet partielle Differentialgleichungen als elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch ein und formuliert Anfangs- und Randbedingungen korrekt.

Behandelt Laplace- und Poisson-Gleichung, Maximumprinzip, Randwertprobleme und schwache Lösungen elliptischer Gleichungen.

Untersucht Wärmeleitung, Diffusion, Maximumprinzipien und Energieabschätzungen für parabolische Gleichungen.

Behandelt Wellenfortpflanzung, Charakteristiken, endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit und Erhaltung der Energie.

Erklärt Gleitkommazahlen, Rundungs- und Diskretisierungsfehler, Kondition, Stabilität und belastbare Fehlerabschätzungen.

Vergleicht LR-, Cholesky- und QR-Verfahren und entscheidet anhand von Struktur, Stabilität und Rechenaufwand über passende direkte Löser.

Löst große oder dünn besetzte Systeme mit Jacobi-, Gauß-Seidel-, Gradienten- und Krylow-Verfahren und bewertet Vorkonditionierung und Abbruchkriterien.

Berechnet Nullstellen mit Bisektion, Fixpunktiteration und Newton-Verfahren und prüft Konvergenzgeschwindigkeit und Robustheit.

Konstruiert Interpolationspolynome, Splines und beste Approximationen und erkennt Instabilität wie das Runge-Phänomen.

Entwickelt Quadraturformeln und numerische Ableitungen und wählt Schrittweiten anhand von Abschneide- und Rundungsfehlern.

Vergleicht Euler-, Runge-Kutta- und Mehrschrittverfahren sowie Stabilitätsanforderungen für steife Anfangswertprobleme.

Diskretisiert partielle Differentialgleichungen auf Gittern und behandelt Konsistenz, Stabilität, Konvergenz und Randbedingungen.

Leitet die Finite-Elemente-Methode aus schwachen Formulierungen her und setzt Basisfunktionen, Assemblierung und Fehlerkontrolle praktisch um.

Behandelt konvexe Mengen und Funktionen, Dualität, Gradientenverfahren, Newton-Verfahren und Optimierung unter Nebenbedingungen.

Berechnet exakte Ableitungen von Programmen mit Vorwärts- und Rückwärtsmodus und ordnet Backpropagation als Anwendung der Kettenregel ein.

Nutzt Zufallsprojektionen, Stichproben und randomisierte Matrixzerlegungen für schnelle Niedrigrangapproximationen großer Datenmatrizen.

Verwendet Computeralgebrasysteme zum Umformen, Lösen, Differenzieren und Integrieren und prüft symbolische Ergebnisse auf Voraussetzungen und Sonderfälle.

Formuliert Definitionen und Beweise in Beweisassistenten, sodass logische Lücken, versteckte Annahmen und fehlerhafte Abhängigkeiten maschinell erkannt werden.

Führt ein reales Problem von Annahmen und Modellbildung über analytische oder numerische Lösung bis zu Sensitivitätsanalyse, Validierung, reproduzierbarem Code und verständlicher Darstellung.

Ordnet Studien-, Forschungs- und Berufsfelder ein, nennt geeignete Portfolios wie Beweise, Modellierungsberichte und reproduzierbare Notebooks und zeigt Wege zum fachlichen Weiterlernen; eine allgemeine Berufszertifizierung gibt es in diesem Gebiet meist nicht.